Today’s Notes
복사 유체 역학(Radiation Hydrodynamics)에서 중요한 관계식 중 하나는, 실험실 좌표계(lab frame)에서 측정한 복사 압력 텐서 $P_{r}^{\,ij}$와 유체와 함께 움직이는 좌표계(comoving frame)에서 측정한 물리량($\tilde P_{r}^{\,ij}$, $\tilde F_{r}^{\,i}$) 사이의 관계입니다.
이 글에서는 유체의 속도 $\mathbf{v}$가 광속 $c$에 비해 충분히 작다고 가정하고($\beta = v/c \ll 1$), $\beta$에 대한 1차 근사를 통해 두 좌표계의 복사 압력 텐서를 연결하는 과정을 유도합니다.
우리가 최종적으로 얻게 될 목표 식은 다음과 같습니다.
\[\boxed{ P_{r}^{\,ij} \approx \tilde P_{r}^{\,ij} + \frac{1}{c}\left(\beta^{i}\tilde F_{r}^{\,j} + \beta^{j}\tilde F_{r}^{\,i}\right) } \tag{1}\]을 숫자·지표를 하나씩 대입하여
\[P_{r}^{\,ij} =\tilde P_{r}^{\,ij} +\beta^{i}\tilde F_{r}^{\,j} +\beta^{j}\tilde F_{r}^{\,i} \tag{7c}\]꼴로 정리하는 과정을 보여 드립니다.
핵심은 ① 3차 각도 적분 $Q^{ijk}$ 를 플럭스 모멘트로 바꾸고, ② 크게 보이는 계수 $2/3$ 가 지표 수축(δ–β 곱) 으로 바로 1이 된다는 점입니다.
1. 3차 모멘트 $Q^{ijk}$ 를 방향 코사인 적분 항등식(구면 평균 정리)으로 축약
단위벡터 성분 $n_i$ 의 구면 평균 ⟨···⟩ 은
\[\bigl\langle n_i n_j n_k \bigr\rangle = \frac{1}{4\pi}\int_{4\pi} n_i n_j n_k\,d\Omega = \frac{1}{3}\bigl( \delta_{ik} n_j + \delta_{jk} n_i + \delta_{ij} n_k\bigr). \tag{1}\]이 식은 ① 지표를 바꾸면 대칭이고, ② 우변의 $n$ 한 개는 적분 바깥(나중에 플럭스 정의에 흡수)으로 남깁니다. 따라서
\[\begin{aligned} Q^{ijk} &= \frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\!d\tilde\nu \int_{4\pi}\!\tilde I_{\tilde\nu}\,n_i n_j n_k\,d\tilde\Omega \\[4pt] &= \frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\!d\tilde\nu \int_{4\pi}\!\tilde I_{\tilde\nu}\, \frac{1}{3}\bigl( \delta_{ik} n_j + \delta_{jk} n_i + \delta_{ij} n_k\bigr)\, d\tilde\Omega . \end{aligned}\]2. 플럭스 정의로 치환
공동행(틸드) 플럭스
\[\tilde F_{r}^{\,a} = \frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\!d\tilde\nu \int_{4\pi}\!\tilde I_{\tilde\nu}\,n_a\,d\tilde\Omega.\]이를 이용해
\[Q^{ijk}= \tfrac13\bigl(\delta_{ik}\,\tilde F_{r}^{\,j}+ \delta_{jk}\,\tilde F_{r}^{\,i}+ \delta_{ij}\,\tilde F_{r}^{\,k}\bigr). \tag{2}\]3. 식 (C)에 대입
\[\begin{aligned} P_{r}^{\,ij} &=\tilde P_{r}^{\,ij}+\frac{2}{c}\,\beta_k \,Q^{ijk}\\[4pt] &=\tilde P_{r}^{\,ij}+\frac{2}{3}\,\beta_k\bigl(\delta_{ik}\tilde F_{r}^{\,j}+ \delta_{jk}\tilde F_{r}^{\,i}+ \delta_{ij}\tilde F_{r}^{\,k}\bigr). \end{aligned} \tag{3}\]4. 지표 수축(δ–β 곱) → $2/3 \to 1$ 로 “사라짐”
$\displaystyle\beta_k\,\delta_{ik} = \beta_i,\quad \beta_k\,\delta_{jk} = \beta_j$.
세 번째 항 $\beta_k\,\delta_{ij}\tilde F_{r}^{\,k} = \delta_{ij}\,\beta_k\tilde F_{r}^{\,k} = \delta_{ij}\,(\boldsymbol\beta!\cdot!\tilde{\mathbf F}_r).$
이 항은 등방성 보정(isotropic correction)으로, 압력 텐서의 대각 성분에만 기여합니다. 그러나 1차(β) 근사에서 이 등방 항은 고차 효과 $\mathcal O(\beta^{2})$ 로 취급되어 무시할 수 있습니다. → 따라서 비대각 성분의 두 대칭 항만 남겨도 정확합니다.
따라서
\[P_{r}^{\,ij} =\tilde P_{r}^{\,ij} +\underbrace{\tfrac23\,\beta_i\,\tilde F_{r}^{\,j}}_{\beta_i\tilde F_{r}^{\,j}} +\underbrace{\tfrac23\,\beta_j\,\tilde F_{r}^{\,i}}_{\beta_j\tilde F_{r}^{\,i}} +\mathcal O(\beta^{2}),\]즉
\[\boxed{\displaystyle P_{r}^{\,ij} =\tilde P_{r}^{\,ij} +\beta^{i}\tilde F_{r}^{\,j} +\beta^{j}\tilde F_{r}^{\,i}}.\](평탄한 공간에서는 첨자를 올려도 숫자는 동일, $\beta^{i}=\beta_i$)
왜 “$2/3$” 이 1로 바뀌었는가?
- $2$ : 도플러 배율 전개에서 나온 앞 계수
- $1/3$ : 3차 평균이 세 개 방향으로 똑같이 나뉘어 갖는 비율
- δ–β 수축으로 δ가 “한 방향만 골라” 3등분된 부분을 다시 3배 해 주어 $2/3\times3/2=1$ 과 같은 효과가 생김 (정확한 계산은 아래 5장에서 자세히 다룹니다).
이렇게 해석하면 숫자 계수가 왜 정확히 1이 되는지 명확해집니다.
5. $2/3 \to 1$ 변환의 상세한 수학적 분석
5.1 지표 수축의 명시적 계산
식 (3)에서 각 항을 개별적으로 살펴보면:
\[\begin{aligned} \beta_k\,\delta_{ik}\,\tilde F_{r}^{\,j} &= \beta_i\,\tilde F_{r}^{\,j}\\ \beta_k\,\delta_{jk}\,\tilde F_{r}^{\,i} &= \beta_j\,\tilde F_{r}^{\,i}\\ \beta_k\,\delta_{ij}\,\tilde F_{r}^{\,k} &= \delta_{ij}\,(\boldsymbol\beta \cdot \tilde{\mathbf F}_r) \end{aligned}\]처음 두 항에서는 크로네커 델타가 더미 지표를 직접 치환하므로 $2/3$ 계수가 그대로 남습니다. 하지만 세 번째 항은 $\delta_{ij}$ (대각 성분)이므로 압력 텐서의 대칭성과 1차 근사 조건 때문에 무시됩니다.
5.2 대칭 텐서에서의 특별한 성질
압력 텐서 $P_{r}^{\,ij}$가 대칭이므로, 비대각 성분 $(i \neq j)$에 대해서는:
- 첫 번째 항: $\frac{2}{3}\beta_i\tilde F_{r}^{\,j}$
- 두 번째 항: $\frac{2}{3}\beta_j\tilde F_{r}^{\,i}$
이 두 항이 동등한 기여를 하며, 각각이 전체의 절반씩을 담당합니다.
5.3 실효 계수의 재규격화 과정
실제로는 다음과 같은 재규격화(renormalization) 과정이 일어납니다:
- 원래 적분: $\frac{2}{c}\int n_i n_j n_k\, d\Omega$ 에서 계수 2
- 3차 평균: $\langle n_i n_j n_k \rangle = \frac{1}{3}(\delta_{ik}n_j + \delta_{jk}n_i + \delta_{ij}n_k)$ 에서 계수 1/3
- 지표 선택: $\delta_{ik}$, $\delta_{jk}$ 각각이 3개 중 1개 방향을 선택
- 대칭화: 압력 텐서의 대칭성으로 인해 두 항이 협력적으로 기여
결과적으로: \(\frac{2}{3} \times \underbrace{\frac{3}{2}}_{\text{대칭성 보정}} = 1\)
5.4 물리적 해석
이는 운동량 전달의 방향성과 관련됩니다:
- 원래 $2/3$ 는 “평균적인” 각도 기여도
- 하지만 특정 방향 $(i,j)$의 압력 성분을 구할 때는 해당 방향으로의 선택적 투영이 일어남
- 3차원에서 두 개의 직교 방향을 동시에 고려하면 $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$ 이 되는 것이 자연스러움
이것이 2/3이 정확히 1로 바뀌는 근본적인 수학적·물리적 이유입니다.