복사수송 I: Specific Intensity와 Radiation Moments

이 글은 복사 자기유체역학(Rad-MHD) 이론 노트의 첫 편입니다. 복사장을 어떤 변수로 표현하고 복사수송(radiative transfer) 방정식에서 그 변수들의 모멘트(moment) 방정식을 어떻게 얻는지에 집중합니다.

물질의 MHD 방정식과 구체적인 흡수·방출 불투명도(opacity), LTE는 아직 정하지 않습니다. 폐쇄 관계(closure)의 물리적 제약은 보완 중인 후속 글에서 다룰 예정입니다.

1. 복사강도와 주파수 적분

주파수별 복사강도(specific intensity)를 $I_\nu(t,\mathbf x,\mathbf n)$로 쓰겠습니다. $\mathbf x$는 위치이고 $\mathbf n$은 복사가 진행하는 방향의 단위 벡터입니다. 이 글에서 사용하는 주파수 적분 복사강도는

\[I(t,\mathbf x,\mathbf n) \equiv \int_0^\infty I_\nu(t,\mathbf x,\mathbf n)\,d\nu\]

입니다. 주파수를 적분하면 스펙트럼의 상세한 모양을 상태변수로 보존하지 않습니다. 그렇다고 모든 주파수의 불투명도가 같은 값을 갖는다는 뜻은 아닙니다.

주파수별 소스항(source term)도 같은 방식으로 적분합니다.

\[\mathcal S_{\rm int} \equiv \int_0^\infty \mathcal S_\nu[I_\nu;\rho,T,\ldots]\,d\nu.\]

그러면 주파수 적분 복사수송 방정식은

\[\frac{1}{c}\frac{\partial I}{\partial t} +\mathbf n\cdot\nabla I = \mathcal S_{\rm int}\]

로 쓸 수 있습니다. $\mathcal S_{\rm int}$는 일반적으로 적분된 $I$만의 함수가 아닙니다. 적분 과정에서 사라진 스펙트럼 정보와 물질 상태 $(\rho,T,\ldots)$, 선택한 방출·흡수·산란 모형에 의존할 수 있습니다.

이 식은 물질이 정지해 있는 하나의 고정 관성계에서 물리적 광속 $c$를 쓰는 기준식입니다. 도플러 이동(Doppler shift), 수차(aberration), 복사 일(radiation work), 혼합 관성계(mixed-frame) $O(v/c)$ 항, 축약 광속 근사(Reduced Speed of Light Approximation, RSLA)는 포함하지 않습니다.

복사장은 위치와 시간뿐 아니라 방향 $\mathbf n$에도 의존합니다. $I$ 자체를 진화시키면 각도 방향의 자유도가 추가되지만, 모멘트 방법은 이 각도 의존성을 적분해 더 적은 수의 변수로 요약합니다.

2. 복사 모멘트의 정의

각 적분은 전체 $4\pi$ 입체각(solid angle)에 대해 취합니다. 가장 낮은 세 모멘트는

\[E_r=\frac{1}{c}\int I\,d\Omega, \qquad \mathbf F_r=\int I\,\mathbf n\,d\Omega, \qquad \mathbb P_r=\frac{1}{c}\int I\,\mathbf n\otimes\mathbf n\,d\Omega\]

로 정의합니다.

• $E_r$: 복사 에너지 밀도
• $\mathbf F_r$: 복사 에너지 플럭스(flux)
• $\mathbb P_r$: 복사 압력 텐서

각 변수의 cgs 단위는 다음과 같습니다.

변수	물리량	cgs 단위
$I$	주파수 적분 복사강도	$\mathrm{erg\,cm^{-2}\,s^{-1}\,sr^{-1}}$
$E_r$	에너지 밀도	$\mathrm{erg\,cm^{-3}}$
$\mathbf F_r$	에너지 플럭스	$\mathrm{erg\,cm^{-2}\,s^{-1}}$
$\mathbb P_r$	압력 텐서	$\mathrm{erg\,cm^{-3}}$
$\mathbf F_r/c^2$	운동량 밀도	$\mathrm{g\,cm^{-2}\,s^{-1}}$

이 정규화에서 물리적인 복사 운동량 밀도는 $\mathbf F_r/c^2$입니다. 일부 수치 방법에서는 $\mathbf F_r/c$를 보존변수로 쓰기도 하는데, 이 변수는 차원 있는 식에서 운동량 밀도 자체가 아니므로, 사용할 때에는 보존변수와 플럭스, 소스항의 $c$ 계수를 그 정의에 맞춰 다시 유도해야 합니다. 위 모멘트 정의와 정규화는 Skinner & Ostriker (2013)에서도 확인할 수 있습니다.

2.1 두 극한에서 정의 확인하기

복사장이 등방적(isotropic)이어서 $I=I_0$이면

\[E_r=\frac{4\pi I_0}{c}, \qquad \mathbf F_r=0, \qquad \mathbb P_r=\frac{E_r}{3}\mathbb I\]

가 됩니다. $\mathbb I$는 단위 텐서입니다. 다만 $\mathbf F_r=0$이라는 사실만으로 복사장이 등방적이라고 결론 내릴 수는 없습니다.

반대로 한 방향 $\mathbf n_0$으로만 진행하는 이상적인 빔(beam)은

\[\mathbf F_r=cE_r\mathbf n_0, \qquad \mathbb P_r=E_r\mathbf n_0\otimes\mathbf n_0\]

를 만족합니다. 이 두 극한은 모멘트 정의의 $c$ 계수와 텐서 구조를 빠르게 점검하는 기준입니다.

3. 모멘트 방정식의 유도

0차 모멘트는 복사수송 방정식을 전체 입체각에 대해 적분해 얻습니다. 공간 미분항은

\[\int \mathbf n\cdot\nabla I\,d\Omega = \nabla\cdot\int I\mathbf n\,d\Omega = \nabla\cdot\mathbf F_r\]

이므로

\[\frac{\partial E_r}{\partial t} +\nabla\cdot\mathbf F_r = \int\mathcal S_{\rm int}\,d\Omega \equiv S_E\]

를 얻습니다. $S_E$는 복사 에너지의 단위 부피당 전달률입니다.

1차 모멘트는 원래 식에 $\mathbf n$을 곱해 적분합니다. 이때

\[\int \mathbf n(\mathbf n\cdot\nabla I)\,d\Omega = \nabla\cdot\int I\,\mathbf n\otimes\mathbf n\,d\Omega = c\,\nabla\cdot\mathbb P_r\]

이고, 전체 식을 $c$로 나누면

\[\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf F_r}{\partial t} +\nabla\cdot\mathbb P_r = \frac{1}{c}\int\mathbf n\,\mathcal S_{\rm int}\,d\Omega \equiv \mathbf S_F\]

가 됩니다. $\mathbf S_F$는 복사 운동량의 단위 부피당 전달률, 곧 힘 밀도입니다. $\mathbf F_r$를 에너지 플럭스로 정의했기 때문에 시간미분항에는 $1/c^2$가 붙습니다. $S_E$와 $\mathbf S_F$의 구체적인 형태와 부호는 선택한 소스 모형이 정합니다.

4. 모멘트 계층과 폐쇄 관계

0차와 1차 모멘트 방정식에는 $E_r$, $\mathbf F_r$, $\mathbb P_r$가 등장합니다. 그러나 $\mathbb P_r$는 $E_r$와 $\mathbf F_r$만으로 자동으로 결정되지 않습니다. 서로 다른 각도 분포가 같은 $E_r$와 $\mathbf F_r$를 만들면서도 서로 다른 $\mathbb P_r$를 가질 수 있기 때문입니다.

2차 모멘트 방정식을 추가하면

\[\mathbb Q_r = \frac{1}{c}\int I\,\mathbf n\otimes\mathbf n\otimes\mathbf n\,d\Omega\]

와 같은 3차 모멘트가 새로운 미지수로 등장합니다. 더 높은 모멘트를 계속 도입해도 새 미지수가 이어지는 구조가 모멘트 계층(moment hierarchy)입니다.

따라서 유한한 수의 모멘트 방정식으로 계산하려면 어느 단계에서 계층을 닫아야 합니다. 폐쇄 관계는 각도 적분만으로 얻는 식이 아니라, 적분하며 잃어버린 각도 분포의 정보를 근사해 보충하는 조건입니다.

참고문헌

• Mihalas, D., & Mihalas, B. W. (1984). Foundations of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press.
• Skinner, M. A., & Ostriker, E. C. (2013). A Two-moment Radiation Hydrodynamics Module in Athena Using a Time-explicit Godunov Method. The Astrophysical Journal Supplement Series, 206(2), 21. https://doi.org/10.1088/0067-0049/206/2/21
• Levermore, C. D., & Pomraning, G. C. (1981). A flux-limited diffusion theory. The Astrophysical Journal, 248, 321–334. https://doi.org/10.1086/159157
• Levermore, C. D. (1984). Relating Eddington factors to flux limiters. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 31(2), 149–160. https://doi.org/10.1016/0022-4073(84)90112-2