Scale Height

스케일 높이란 무엇인가?

스케일 높이 (Scale Height, $H$)는 대기에서 고도에 따라 압력과 밀도가 어떻게 감소하는지를 설명하는 중요한 물리적 개념입니다. 구체적으로, 스케일 높이는 대기의 압력이나 밀도가 고도 $H$ 만큼 증가할 때마다 약 $\frac{1}{e}$ 만큼 감소하는 높이를 의미합니다. 이 개념은 행성의 대기뿐만 아니라, 은하 중심에서의 별의 분포, 기체 행성의 내부 구조 분석 등 다양한 천체물리학적 현상에도 적용됩니다.

실생활에서의 예시

이해를 돕기 위해, 스케일 높이를 산에서의 산소 농도 변화에 비유할 수 있습니다. 산을 오를수록 공기는 점점 희박해져 숨쉬기가 어려워지는데, 스케일 높이는 산을 어느 정도 올라야 산소 농도가 크게 감소하는지를 나타내는 지표입니다. 예를 들어, 지구의 스케일 높이는 약 8.5km입니다. 이는 해발 8.5km(예: 에베레스트 산 정상)에서는 지표면에서의 대기 압력과 밀도가 약 37%로 줄어든다는 의미입니다.

스케일 높이의 유도: 평형 방정식

스케일 높이를 이해하기 위해서는 먼저 정역학적 평형 (Hydrostatic Equilibrium) 방정식을 살펴볼 필요가 있습니다. 이 방정식은 대기에서 중력에 의한 아래쪽으로 작용하는 힘과 반대 방향으로 작용하는 기압 변화 간의 균형을 설명합니다:

$$\frac{dp}{dz}=-\rho g$$

여기서:

• $p$: 고도 $z$에서의 기압 (Pa),
• $\rho$: 고도 $z$에서의 대기 밀도 (kg/m³),
• $g$: 중력 가속도 (m/s²) (고도에 따라 변하지 않는다고 가정).

이 방정식은 고도 $z$ 에서의 작은 변화 $dz$ 에 따라 기압 $p$ 가 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 이를 이상기체 상태 방정식과 결합하면, 밀도 $\rho$ 를 기압 $p$ 와 온도 $T$ 로 표현할 수 있습니다:

$$p=\rho \frac{k_{B}T}{m}$$

여기서:

• $k_B$: 볼츠만 상수 (1.380649 × 10^-23 J/K),
• $T$: 대기의 온도 (K) (고도에 따라 일정하다고 가정),
• $m$: 대기 입자의 평균 질량 (kg) (고도에 따라 일정하다고 가정).

주의: 실제로 온도 $T$와 평균질량 $m$은 고도에 따라 변할 수 있습니다. 그러나 스케일 높이의 기본 유도를 위해 우리는 $T$와 $m$이 일정하다고 가정합니다. 이는 단순화를 위한 가정이며, 복잡한 모델에서는 온도와 평균 질량의 변화가 고려됩니다.

이를 변형하여 $\rho$ 를 $P$ 와 $T$ 로 표현하면 다음과 같습니다:

$$\rho =\frac{pm}{k_{B}T}$$

이를 정역학적 평형 방정식에 대입하면:

$$\frac{dp}{dz}=-\frac{pmg}{k_{B}T}$$

이 식은 기압의 변화율을 나타내는 미분 방정식으로, 고도에 따른 기압의 변화를 설명합니다.

기압과 고도 간의 관계

위의 미분 방정식을 정리하여 기압 $p$ 와 고도 $z$ 간의 관계를 구할 수 있습니다:

$$\frac{dp}{p}=-\frac{mg}{k_{B}T}dz$$

이 식을 적분하면:

$$\ln \left(\frac{p(z)}{p_0}\right)=-\frac{mgz}{k_{B}T}$$

여기서 $p_0$ 는 고도 $z=0$ 에서의 기압입니다.

양변에 지수 함수를 적용하면:

$$p(z)=p_0\cdot e^{-\frac{mgz}{k_{B}T}}$$

따라서 스케일 높이 $H$ 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

$$H=\frac{k_{B}T}{mg}$$

스케일 높이 $H$ 는 온도 $T$ 와 중력가속도 $g$, 그리고 입자의 평균질량 $m$에 의존합니다. 높은 온도는 입자들의 운동 에너지를 증가시켜 대기가 더 넓게 퍼지게 하고, 이는 스케일 높이를 증가시킵니다. 반면, 강한 중력은 대기를 더 가까이 붙잡아 두어 스케일 높이를 감소시킵니다.

스케일 높이와 대기의 총 질량의 관계

스케일 높이는 단순히 대기의 압력과 밀도 변화를 설명하는 것뿐만 아니라, 대기의 총 질량을 (아주 간단히) 추정하는 데 사용될 수 있습니다. 고도 $z$ 에서의 대기 밀도 $\rho (z)$ 는 스케일 높이 $H$ 를 사용해 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$\rho (z)={\rho }_0\cdot e^{-z/H}$$

여기서 ${\rho }_0$ 는 고도 0에서의 대기 밀도입니다.

이제 대기의 총 질량 $M_{\text{atm}}$ 을 계산하기 위해, 고도 $z=0$ 에서부터 무한대까지 대기 밀도를 적분합니다:

$$M_{\text{atm}}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\rho (z)\cdot Adz$$

여기서 $A$ 는 행성의 표면적입니다.

$\rho (z)$ 의 표현식을 대입하면 다음과 같습니다:

$$M_{\text{atm}}={\rho }_0\cdot A{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-z/H}dz$$

이 적분은 다음과 같이 계산됩니다:

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-z/H}dz=H$$

따라서, 대기의 총 질량 $M_{\text{atm}}$ 은 다음과 같이 근사할 수 있습니다:

$$M_{\text{atm}}\approx {\rho }_0\cdot A\cdot H$$

주의: 이 접근 방식은 대기가 무한히 확장된다고 가정한 단순화된 모델입니다. 실제로 대기는 유한한 범위 내에 존재하며, 고도가 높아질수록 온도와 중력 가속도도 변할 수 있습니다. 따라서 이 결과는 대기의 하층부, 즉 대부분의 질량이 집중된 영역에서의 근사값으로 이해해야 합니다.

이 접근 방식에서는 대기를 지표면 밀도와 동일한 일정한 밀도를 가진 슬랩으로 가정합니다. 이 슬랩은 스케일 높이 $H$ 까지 수직으로 확장되며, 일정 밀도를 가진 슬랩의 질량을 계산하여 대기의 총 질량을 추정합니다. 즉, 일정 밀도 슬랩의 질량이 실제 대기의 질량과 같다고 가정하는 것입니다. 스케일 높이는 이렇게 지표면 밀도와 동일한 밀도를 가진 대기의 “두께”를 측정하는 개념으로도 설명될 수 있습니다.

스케일 높이와 고도 변화에 따른 압력과 밀도의 변화 요약

• 스케일 높이가 작을수록: 고도가 조금만 증가해도 대기의 압력과 밀도가 급격하게 감소합니다. 이는 고도 변화에 따른 압력과 밀도의 변화가 가파르다는 것을 의미하며, 대기가 행성 표면 근처에 더 밀집되어 있음을 나타냅니다.

• 스케일 높이가 클수록: 고도가 많이 증가해도 대기의 압력과 밀도가 천천히 감소합니다. 따라서 고도 변화에 따른 압력과 밀도의 변화가 완만하다고 할 수 있으며, 대기가 더 넓은 고도 범위에 퍼져 있음을 의미합니다.

태양 대기에서의 스케일 높이

이제 이러한 개념을 태양의 대기에 적용해 보겠습니다. 태양의 대기는 광구(Photosphere), 채층(Chromosphere), 그리고 코로나(Corona)로 나뉩니다. 각 층은 서로 다른 물리적 특성을 가지고 있으며, 이에 따라 스케일 높이도 다르게 나타납니다.

태양 대기의 다양한 층에서의 스케일 높이를 계산할 때는 단순히 중력과 온도만 고려하는 것이 아니라, 로렌츠 힘(자기장에 의한 힘)과 복사압도 중요한 역할을 합니다. 이들은 태양 대기의 구조와 동역학에 영향을 미치며, 스케일 높이에 직접적인 영향을 줍니다.

1. 기본적인 힘 균형 방정식

태양 대기의 한 층에서 정역학적 평형 상태는 다음의 힘 균형 방정식으로 표현됩니다:

$$-\mathrm{\nabla }p+\rho \mathbf{g}+\frac{1}{c}\mathbf{J}\times \mathbf{B}+\mathrm{\nabla }{p}_r=0$$

여기서:

• $p$: 기압,
• $\rho$: 밀도,
• $\mathbf{g}$: 중력 가속도,
• $\frac{1}{c}\mathbf{J}\times \mathbf{B}$: 로렌츠 힘(자기력),
• $\mathrm{\nabla }{p}_r$: 복사압의 기울기.

이 방정식은 태양 대기 내에서의 압력, 중력, 자기력, 그리고 복사압 사이의 균형을 나타냅니다.

2. 로렌츠 힘의 포함

로렌츠 힘(자기장에 의한 힘)은 자기장의 곡률에 따라 발생하며, 자기장이 휘어진 방향으로 복원하려는 힘입니다. 이 힘은 다음과 같이 표현됩니다:

$$\frac{1}{c}\mathbf{J}\times \mathbf{B}=-\mathrm{\nabla }\left(\frac{B^2}{8\pi }\right)+\frac{1}{4\pi }(\mathbf{B}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{B}$$

여기서:

• $\frac{B^2}{8\pi }$: 자기압(자기장이 기여하는 압력),
• $\frac{1}{4\pi }(\mathbf{B}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{B}$: 자기장 긴장력(Tension force)

자기압은 고도의 증가에 따라 변하는 압력 성분에 추가로 기여하며, 스케일 높이를 수정하는 데 중요한 역할을 합니다.

3. 복사압의 포함

복사압 $p_r$은 태양과 같은 천체에서 방출되는 복사가 물질에 가하는 압력을 의미합니다. 복사압은 다음과 같이 정의됩니다:

$$p_r=\frac{u_r}{3}=\frac{1}{3}a{T}^4$$

여기서:

• $u_r=a{T}^4$: 복사 에너지 밀도,
• $a=\frac{4\sigma }{c}$: 복사상수(radiation constant),
• $\sigma$: 스테판-볼츠만 상수$(\sigma \approx 5.67\times {10}^{-8}{\text{W m}}^{-2}{\text{K}}^{-4})$

복사압은 태양 내부 및 대기에서 중요한 역할을 하며, 특히 고온 영역에서 가스압과 비교될 만큼 큰 영향을 미칠 수 있습니다.

참고: 복사압은 태양 내부(핵 및 복사층)에서 가스압과 비슷한 크기를 가질 수 있으며, 태양의 구조와 진화에 중요한 역할을 합니다. 그러나 태양의 대기층에서는 복사압이 가스압에 비해 상대적으로 작을 수 있지만, 코로나와 같은 고온 영역에서는 무시할 수 없을 정도로 중요해집니다.

4. 스케일 높이의 유도: 자기압력 포함

이 유도 과정에서는 자기장 긴장력과 복사압은 무시하겠습니다. 이는 수평 방향의 자기장으로 구성된 계층화된 대기(stratified atmosphere)를 가정한 것입니다.

이제, 자기압력을 포함한 스케일 높이의 유도 과정을 살펴보겠습니다.

(1) 총압력: 총압력은 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

$$p_{tot}=p+p_m$$

여기서:

• $p_m=\frac{B^2}{8\pi }$: 자기압

(2) 수정된 정역학적 평형 방정식: 정역학적 평형을 이루기 위해, 총압력이 중력에 의해 균형을 이루는 조건을 고려하면 다음과 같은 방정식을 얻습니다:

$$\frac{d{p}_{tot}}{dz}=-\rho g$$

(3) 플라즈마 베타 정의: 플라즈마 베타 $\beta$는 가스압력 $p$과 자기압력 $p_m$의 비율로 정의됩니다:

$$\beta =\frac{p}{p_m}$$

이는 자기장에 비해 가스압력이 얼마나 큰지를 나타내는 중요한 무차원 수치입니다.

(4) 스케일 높이로 유도: 이제, 위의 정의를 사용하여 가스압력의 분포를 스케일 높이 $H$로 나타낼 수 있습니다.

가스압력 $p$는 총 압력 $p_{tot}$와 플라즈마 베타 $\beta$에 따라 다음과 같이 표현됩니다:

$$p=\frac{\beta }{\beta +1}{p}_{tot}=\frac{\beta }{\beta +1}{p}_{tot0}\exp (-\int \frac{\beta }{\beta +1}\frac{mg}{k_{B}T}dz)$$

여기서:

• $p_{tot0}$: $z=0$에서의 총압력,
• $m$: 입자의 평균질량,
• $k_B$: 볼츠만 상수,
• $T$: 온도

만약 중력 가속도 $g$, 온도 $T$, 플라즈마 베타 $\beta$가 고도에 따라 일정하다고 가정하면, 압력의 분포는 다음과 같이 지수 함수적으로 표현될 수 있습니다:

$$p=p_0\exp (-\frac{z}{H})$$

여기서:

• $p_0$: $z=0$에서의 압력,
• $H$: 다음과 같이 정의됩니다:

$$H=H_g(1+\frac{1}{\beta }),H_g=\frac{k_{B}T}{mg}$$

여기서 $H_g$는 플라즈마 베타 $\beta \to \mathrm{\infty }$일 때의 스케일 높이로, 순수하게 중력과 온도에 의해 결정됩니다 (non-magnetic scale height). 플라즈마 베타 $\beta$가 유한한 값을 가질 경우, 자기압력의 기여가 반영되어 스케일 높이가 증가하게 됩니다.

주의: 실제로 태양 대기에서는 온도 $T$와 플라즈마 베타 $\beta$가 고도에 따라 크게 변합니다. 여기서는 단순화를 위해 이들이 일정하다고 가정하였으며, 이는 개념적인 이해를 위한 것입니다. 보다 정확한 모델에서는 온도와 플라즈마 베타의 고도에 따른 변화를 고려해야 합니다.

이 유도 과정은 자기압력이 가스압력과 함께 작용하여 대기의 구조에 어떻게 영향을 미치는지를 보여줍니다. 자기압력이 포함됨에 따라 스케일 높이는 증가하게 되며, 이는 플라즈마 베타 $\beta$에 반비례하게 됩니다.

5. 자기장 긴장력과 복사압의 영향

지금까지 우리는 계산의 단순화를 위해 자기장 긴장력과 복사압의 기울기를 무시하였습니다. 그러나 다음과 같은 상황에서는 이들 힘을 고려해야 합니다:

• 자기장 긴장력: 자기장의 방향이 고도에 따라 크게 변하는 경우, 자기장 긴장력은 대기의 힘 균형에 중요한 영향을 미칩니다.

• 복사압의 기울기: 태양의 고온 영역(예: 코로나)에서는 복사압이 가스압과 비교될 만큼 커질 수 있으며, 그 기울기는 대기의 구조에 영향을 줄 수 있습니다.

따라서 보다 정확한 모델에서는 이들 힘을 포함한 정역학적 평형 방정식을 사용하여 스케일 높이를 계산해야 합니다.

태양 대기의 각 층에서의 스케일 높이 계산

태양 대기의 각 층에서 스케일 높이를 계산해보겠습니다.

온도:

• 코로나 온도: $T_{cor}\approx 1.5\times {10}^6\text{K}$
• 채층 온도: $T_{ch}\approx 1\times {10}^4\text{K}$
• 광구 온도: $T_{ph}\approx 6\times {10}^3\text{K}$

플라즈마 베타 $\beta$:

• 코로나: ${\beta }_{cor}<1$
• 채층: ${\beta }_{ch}\approx 1$
• 광구: ${\beta }_{ph}>1$

스케일 높이 계산:

스케일 높이는 다음과 같이 계산됩니다:

$$H=H_g(1+\frac{1}{\beta }),H_g=\frac{k_{B}T}{mg}$$

여기서 평균 질량 $m$은 대략 양성자 질량 $m_p$로 근사할 수 있습니다.

광구에서의 스케일 높이:

• ${\beta }_{ph}>1$이므로 $\frac{1}{{\beta }_{ph}}<1$
• 따라서, $H_{ph}\approx H_g$

채층에서의 스케일 높이:

• ${\beta }_{ch}\approx 1$이므로 $H_{ch}=2H_g$

코로나에서의 스케일 높이:

• ${\beta }_{cor}<1$이므로 $\frac{1}{{\beta }_{cor}}>1$
• 따라서, $H_{cor}$는 $H_g$보다 크게 증가

해석

• 광구: 플라즈마 베타 ${\beta }_{ph}$가 1보다 크므로, 자기압력이 가스압력에 비해 작습니다. 따라서 스케일 높이는 주로 가스압력과 중력에 의해 결정됩니다.

• 채층: ${\beta }_{ch}\approx 1$이므로, 자기압력과 가스압력이 비슷한 크기를 가집니다. 이로 인해 스케일 높이는 비자기 스케일 높이의 약 두 배가 됩니다.

• 코로나: ${\beta }_{cor}<1$이므로, 자기압력이 가스압력보다 큽니다. 따라서 자기장이 대기의 지지를 주로 담당하며, 스케일 높이는 크게 증가합니다.

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주요기호 및 상수 목록

기호	의미	단위
$p$	기압	Pa
$\rho$	밀도	kg/m³
$\mathbf{g}$	중력 가속도	m/s²
$T$	온도	K
$k_B$	볼츠만 상수	1.380649 × 10⁻²³ J/K
$m$	입자의 평균질량	kg
$H$	스케일 높이	m
$H_g$	비자기 스케일 높이	m
$p_m$	자기압 $(\frac{B^2}{8\pi })$	Pa
$\beta$	플라즈마 베타 $(\frac{p}{p_m})$	무차원
$p_r$	복사압 $(\frac{1}{3}a{T}^4)$	Pa
$a$	복사상수 $(\frac{4\sigma }{c})$	J/m³/K⁴
$\sigma$	스테판-볼츠만 상수	5.67 × 10⁻⁸ W/m²/K⁴
$c$	빛의 속도	3 × 10⁸ m/s