Scale Height
스케일 높이란 무엇인가?
스케일 높이(scale height)는 어떤 물리량이 공간에서 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내는 국소적인 길이척도(length scale)입니다. 고도에 따라 감소하는 물리량 $q(z)$의 스케일 높이는
\[H_q(z) \equiv -\left(\frac{d\ln q}{dz}\right)^{-1}\]로 정의합니다. 이 글에서는 별도 설명이 없으면 가스압력의 스케일 높이(pressure scale height)
\[H\equiv H_p\]를 뜻합니다. $H_p$가 일정한 경우에만 고도가 $H_p$만큼 증가할 때마다 압력이 정확히 $1/e$로 감소합니다. 온도, 조성 또는 중력이 고도에 따라 변하면 $H_p$도 변하므로, 한 지점의 $H_p$는 그 지점에서의 로그 기울기를 나타내는 국소값입니다.
정역학적 평형(hydrostatic equilibrium)과 압력 스케일 높이
$z$축을 위쪽으로 잡고 $g>0$를 중력가속도의 크기로 두겠습니다. 평면평행(plane-parallel)한 정적 대기에서 다른 체적력(body force)을 무시하면
\[\frac{dp}{dz}=-\rho g\]입니다. 이상기체의 총 가스압력은
\[p = \rho\frac{k_BT}{\mu m_u}\]로 씁니다. 여기서 $m_u$는 원자질량상수이고, $\mu m_u$는 압력에 기여하는 전체 입자당 평균질량입니다. 이를 정역학적 평형식에 대입하면
\[\frac{d\ln p}{dz} = -\frac{\mu m_u g}{k_BT}\]이므로 국소 압력 스케일 높이는
\[\boxed{ H_p(z) = \frac{k_BT(z)}{\mu(z)m_u g(z)} }\]입니다. $T$, $\mu$, $g$가 고도에 따라 변하는 경우의 압력은
\[p(z) = p_0 \exp\left[ -\int_0^z \frac{\mu(z')m_u g(z')}{k_BT(z')} \,dz' \right]\]입니다. 세 값이 모두 일정할 때에는
\[p(z)=p_0e^{-z/H_p}, \qquad H_p=\frac{k_BT}{\mu m_u g}\]라는 익숙한 지수대기(exponential atmosphere) 해를 얻습니다. 온도가 높을수록 $H_p$가 커지고, 중력 또는 평균입자질량이 클수록 $H_p$가 작아집니다.
압력, 입자수 밀도, 질량밀도의 스케일 높이
등온·일정 조성에서는 압력 $p$, 입자수 밀도 $n$, 질량밀도 $\rho$가 같은 스케일 높이를 가집니다. 그러나 일반적으로는 세 값을 구분해야 합니다. $n=p/(k_BT)$와 $\rho=p\mu m_u/(k_BT)$에서
\[\boxed{ H_n^{-1} = H_p^{-1} + \frac{d\ln T}{dz} }\]및
\[\boxed{ H_\rho^{-1} = H_p^{-1} + \frac{d\ln T}{dz} - \frac{d\ln\mu}{dz} }\]를 얻습니다. 특히 온도와 이온화율(ionization fraction)이 빠르게 변하는 태양 채층(chromosphere)에서는 압력, 질량밀도, 전자수 밀도의 스케일 높이가 서로 다를 수 있습니다.
지구 대기: 등온 모형과 표준대기(standard atmosphere)
표준 해수면 조건 $T_0=288.15\,\mathrm{K}$, 건조공기 몰질량 $M=0.0289644\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$, $g_0=9.80665\,\mathrm{m\,s^{-2}}$를 사용하면
\[H_{p,0} = \frac{R^\ast T_0}{Mg_0} \simeq 8.435\,\mathrm{km}\]입니다. 이 값은 지구 대기 전체의 단일 상수가 아니라 해수면 부근의 국소 압력 스케일 높이입니다.
여기서 $R^\ast$는 보편기체상수입니다.
해수면 온도를 모든 고도에 적용하는 등온 모형에서는 $8.435\,\mathrm{km}$ 상승할 때 압력과 밀도가 모두 $1/e\simeq0.368$로 감소합니다. 실제 대류권(troposphere)의 온도는 고도에 따라 낮아지므로 표준대기는 다른 값을 줍니다. U.S. Standard Atmosphere 1976의 기하학적 고도 $8.5\,\mathrm{km}$ 값을 비교하면 다음과 같습니다.
| 물리량 | 등온 단일-$H_p$ 모형 | U.S. 표준대기, 8.5 km |
|---|---|---|
| 온도 $T$ | 288.15 K로 고정 | 232.974 K |
| 압력비 $p/p_0$ | 약 0.365 | 0.3272 |
| 밀도비 $\rho/\rho_0$ | 약 0.365 | 0.4047 |
이 고도에서도 건조공기 중 산소의 몰분율(mole fraction)은 거의 일정합니다. 감소하는 것은 총압력에 비례하는 산소 분압(partial pressure)과 단위부피당 산소 분자 수입니다. 따라서 산을 오를 때 숨쉬기가 어려워지는 현상을 산소의 비율 자체가 크게 감소한다고 표현해서는 안 됩니다.
스케일 높이와 대기 총질량
평면평행·등온 지수대기에서 면적 $A$를 고도에 무관한 상수로 두면
\[\rho(z)=\rho_0e^{-z/H_p}\]이고,
\[M_{\mathrm{atm}} = A\int_0^\infty\rho(z)\,dz = \rho_0AH_p\]입니다. 이 결과는 위의 이상화된 모형 안에서는 근사가 아니라 정확한 등식입니다. 또한 $\rho_0H_p=p_0/g$이므로
\[\boxed{ M_{\mathrm{atm}} = \frac{Ap_0}{g} }\]로도 쓸 수 있습니다.
$\rho_0AH_p$는 질량만 놓고 보면 지표 밀도 $\rho_0$를 가진 두께 $H_p$의 균일한 층과 같습니다. 이는 실제 대기를 균일한 층으로 가정했다는 뜻도, $H_p$가 대기의 물리적 상단이라는 뜻도 아닙니다.
구형 행성에서는 정확한 질량 적분이
\[M_{\mathrm{atm}} = 4\pi\int_0^\infty \rho(z)(R+z)^2\,dz\]이고, 온도·조성·중력도 고도에 따라 변합니다. 실제 대기는 날카로운 상단 경계를 갖지 않으므로 단일 지수모형은 주로 질량이 집중된 하층 대기의 국소 근사로 이해해야 합니다.
태양 대기에 적용하기 전에
태양 대기에서는 자기력과 복사에 의한 운동량 전달이 존재할 수 있습니다. 그러나 각 항을 일관된 단위계로 쓰고, 실제 힘과 압력의 크기를 구분해야 합니다. 이 글은 SI 단위계를 사용합니다.
준중성(quasi-neutral)·비상대론적 MHD에서 정적 힘 평형은
\[\mathbf 0 = -\nabla p + \rho\mathbf g + \mathbf J\times\mathbf B + \mathbf G_{\mathrm{rad}}\]로 쓸 수 있습니다. 여기서 $\mathbf g=-g\hat{\mathbf z}$입니다. $\nabla\cdot\mathbf B=0$일 때 자기력은
\[\boxed{ \mathbf J\times\mathbf B = -\nabla\left(\frac{B^2}{2\mu_0}\right) + \frac{1}{\mu_0} (\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf B }\]로 분해됩니다. 첫 항은 자기압(magnetic pressure) 기울기, 두 번째 항은 자기장 장력(magnetic tension)입니다.
복사가 물질에 주는 힘 밀도(force density)를 $\mathbf G_{\mathrm{rad}}$라고 하면 복사 운동량 방정식은
\[\mathbf G_{\mathrm{rad}} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf F_r}{\partial t} - \nabla\cdot\mathbb P_r\]를 줍니다. 정적 상태에서는 시간 미분항이 사라져 $\mathbf G_{\mathrm{rad}}=-\nabla\cdot\mathbb P_r$가 됩니다. 복사장이 등방적이면 $\mathbb P_r=(E_r/3)\mathbb I$이고, 광학적으로 두꺼운(optically thick) 확산극한(diffusion limit)에서는 이 관계를 근사적으로 적용할 수 있습니다. 에너지 밀도로부터 복사온도를 $E_r\equiv aT_r^4$로 정의하면
\[\mathbb P_r = \frac{aT_r^4}{3}\mathbb I, \qquad \mathbf G_{\mathrm{rad}} = -\nabla\left(\frac{aT_r^4}{3}\right)\]로 쓸 수 있습니다. 이때 국소열역학평형(local thermodynamic equilibrium, LTE)은 $T_r$를 물질온도와 같다고 놓을 때 필요한 조건이지, 등방성 자체의 조건은 아닙니다. 복사압력(radiation pressure) 텐서와 물질-복사 운동량 교환의 일반적인 관계는 Krumholz et al. (2007)을 참고할 수 있습니다.
태양 코로나(corona)는 광학적으로 얇으며(optically thin) 비LTE이므로 코로나의 플라스마 온도를 $aT^4/3$에 직접 대입할 수 없습니다. 코로나의 광학적으로 얇은 성질을 이용한 관측 진단의 예는 Dudík et al. (2021)에서 볼 수 있습니다. 코로나에서 복사 냉각과 분광선 형성은 에너지 수지와 진단에 중요하지만, 이것이 곧 코로나 전체를 지지하는 복사압이 중요하다는 뜻은 아닙니다. 아래의 스케일 높이 계산에서는 복사압 보정을 사용하지 않습니다.
특수모형: β가 일정한 직선 수평장
이 절에서는 자기압 기울기가 스케일 높이를 바꾸는 한 가지 제한된 예만 살펴봅니다. 다음 조건을 모두 가정합니다.
- 평면평행한 1차원 정적 대기
- $\mathbf B=B_x(z)\hat{\mathbf x}$인 곧은 수평장
- 모든 물리량이 $z$에만 의존
- 자기장 장력의 수직 성분과 복사력 무시
- $T$, $g$, $\mu$, 플라스마 베타(plasma beta) $\beta$가 모두 일정
그림은 자기장의 방향과 중력의 방향만 나타낸 개념도입니다. 화살표 길이는 $B$의 크기를 뜻하지 않습니다. 아래의 일정-$\beta$ 해에서는 $B(z)$가 고도에 따라 감소해야 합니다.
SI에서 자기압과 플라스마 베타는
\[p_m=\frac{B^2}{2\mu_0}, \qquad \beta=\frac{p}{p_m}\]입니다. 위의 기하에서는 수직 평형이
\[\frac{d}{dz}(p+p_m) = -\rho g\]로 줄어듭니다. $\beta$가 일정하면 $p_m=p/\beta$이고 $\rho=p\mu m_u/(k_BT)$이므로
\[\left(1+\frac{1}{\beta}\right) \frac{dp}{dz} = -\frac{p}{H_g}, \qquad H_g\equiv\frac{k_BT}{\mu m_u g}\]입니다. 따라서
\[p(z)=p_0e^{-z/H}, \qquad \boxed{ H = H_g\left(1+\frac{1}{\beta}\right) }\]를 얻습니다. 이 특수해는 동시에
\[p_m(z)\propto p(z), \qquad B(z)\propto e^{-z/(2H)}\]를 요구합니다. 즉 고도에 따라 감소하는 자기압의 기울기가 추가적인 위쪽 지지력을 제공하는 모형입니다.
이 식을 일반적인 태양 대기에 적용해서는 안 됩니다. $\beta$는 가스압과 자기압의 크기 비이지 중력과 로렌츠 힘(Lorentz force)의 비가 아닙니다. 균일한 강한 자기장에서는 $\nabla p_m=0$이고, 무력(force-free) 자기장에서는 $\mathbf J\times\mathbf B=0$이므로 $\beta\ll1$이어도 순 자기 지지가 없을 수 있습니다. 또한 자기장 방향으로는 $\mathbf J\times\mathbf B$의 성분이 0이므로, 장을 따른 압력 분포를 단순히 $1+1/\beta$배 할 수도 없습니다.
실제 태양의 $\beta$는 위치와 자기구조에 따라 크게 변합니다. 광구(photosphere), 채층, 코로나에 각각 하나의 $\beta$를 부여하는 방식은 이러한 변화를 표현하지 못합니다. 활동영역(active region) 모형에서조차 저-$\beta$ 영역은 두 고-$\beta$ 영역 사이에 놓일 수 있고, $\beta$가 낮은 코로나 고도에서 다시 1 부근으로 증가할 수 있습니다. 자세한 예는 Gary (2001)을 참고할 수 있습니다.
조용한 태양(quiet Sun)의 열적 압력 스케일 높이(thermal pressure scale height)
실제 태양 대기의 대표값은 위의 일정-$\beta$ 특수식이 아니라 국소적인 열적 압력 스케일 높이
\[H_g = \frac{k_BT}{\mu m_u g_\odot}\]로 계산하겠습니다. IAU 2015 Resolution B3의 명목 태양 질량매개변수와 반지름을 사용하면
\[g_\odot = \frac{(GM)_\odot^{\mathrm N}}{(R_\odot^{\mathrm N})^2} \simeq 274.2\,\mathrm{m\,s^{-2}}\]이고,
\[\boxed{ H_g \simeq 30.32\,\mathrm{km} \frac{T/(10^3\,\mathrm K)}{\mu} }\]입니다. 질량분율(mass fraction) $X_i$, 원자량 $A_i$, 평균 이온화 전하 $\bar q_i$를 사용하면 평균분자량(mean molecular weight)은
\[\frac{1}{\mu} \simeq \sum_i\frac{X_i}{A_i}(1+\bar q_i)\]로 계산할 수 있습니다. 원소 질량분율에는 Asplund, Amarsi, and Grevesse (2021)의 현재 태양 광구 조성을 사용하고, 위 식에 각 행의 이온화 가정을 적용해 $\mu$를 계산하면 다음의 대표값을 얻습니다.
| 조용한 태양 영역 | 대표적인 국소 가정 | $\mu$ | $H_g$ |
|---|---|---|---|
| 하부 광구 | $T=6000\,\mathrm K$, 거의 중성 | 약 1.24 | 약 147 km |
| 상부 채층 | $T=10^4\,\mathrm K$, 거의 중성에서 수소 이온화까지 | 약 1.24 → 0.646 | 약 245 → 469 km |
| 조용한 닫힌 코로나 | $T=1.5\times10^6\,\mathrm K$, 완전 이온화 | 약 0.597 | 약 76.2 Mm |
이 표의 온도는 각 영역 전체를 대표하는 상수가 아니라 계산을 위한 국소 예시입니다. 특히 채층의 온도와 수소 이온화율은 시간과 위치에 따라 크게 변합니다. 조용한 태양의 반경험적(semi-empirical) 온도구조는 Avrett & Loeser (2008)을, 채층 수소의 비평형 이온화는 Leenaarts et al. (2007)을 참고할 수 있습니다.
코로나의 $76.2\,\mathrm{Mm}$도 태양면 중력을 사용한 국소값입니다. 고도가 증가하면 $g(r)=GM_\odot/r^2$가 감소하므로 $H_g$는 커지고, 더 바깥에서는 태양풍(solar wind) 때문에 전역적인 정역학 가정 자체가 성립하지 않습니다. 이 전역 정역학 한계는 Parker (1958)의 태양풍 solution과 연결됩니다.
핵심 정리
- $H_p$는 압력 로그 기울기의 음의 역수이며, 일정한 경우에만 고도가 $H_p$만큼 증가할 때마다 압력이 정확히 $1/e$로 감소합니다.
- $H_p$, $H_n$, $H_\rho$는 등온·일정 조성에서만 서로 같습니다.
- $M_{\mathrm{atm}}=\rho_0AH_p=Ap_0/g$는 평면평행 지수대기 모형 안에서 정확한 관계입니다.
- $H=H_g(1+1/\beta)$는 일정한 $\beta$와 고도에 따라 감소하는 직선 수평장을 가정한 특수해입니다.
- 낮은 $\beta$만으로 자기장이 대기를 지지한다고 결론 낼 수 없습니다.
- 실제 태양의 대표 스케일 높이는 국소 $T$, $\mu$, $g$를 사용해 계산해야 하며, 광구·채층·코로나에 하나의 $\beta$ 보정값을 적용해서는 안 됩니다.
- 광학적으로 얇은 코로나의 플라스마 온도를 LTE 흑체식 $aT^4/3$에 대입해서는 안 됩니다.
주요 기호와 상수
| 기호 | 의미 | SI 단위 또는 값 |
|---|---|---|
| $p$ | 가스압력 | Pa |
| $\rho$ | 질량밀도 | kg m$^{-3}$ |
| $n$ | 전체 입자수 밀도 | m$^{-3}$ |
| $\mathbf g$ | 중력가속도 벡터 | m s$^{-2}$ |
| $T$ | 물질 온도 | K |
| $T_r$ | 복사온도 | K |
| $k_B$ | 볼츠만 상수 | $1.380649\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ |
| $m_u$ | 원자질량상수 | $1.66053906892\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$ |
| $\mu$ | 평균분자량 | 무차원 |
| $H_p,H_n,H_\rho$ | 압력·입자수·질량밀도 스케일 높이 | m |
| $\mathbf B$ | 자기 플럭스 밀도 | T |
| $\mathbf J$ | 전류밀도 | A m$^{-2}$ |
| $\mu_0$ | 진공 자기투과율 | N A$^{-2}$ |
| $p_m=B^2/(2\mu_0)$ | 자기압 | Pa |
| $\beta=p/p_m$ | 플라스마 베타 | 무차원 |
| $\mathbf F_r$ | 복사 플럭스 | W m$^{-2}$ |
| $\mathbb P_r$ | 복사압력 텐서 | Pa |
| $\mathbf G_{\mathrm{rad}}$ | 복사가 물질에 주는 힘 밀도 | N m$^{-3}$ |
| $a=4\sigma/c$ | 복사상수 | $7.5657\times10^{-16}\,\mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-4}}$ |
상숫값은 NIST 2022 CODATA의 권고값을 사용했습니다.
참고문헌
- NIST, CODATA Internationally recommended 2022 values of the fundamental physical constants.
- NOAA, NASA, and USAF, U.S. Standard Atmosphere, 1976.
- A. Prša et al., “Nominal values for selected solar and planetary quantities: IAU 2015 Resolution B3”, The Astronomical Journal 152 (2016), 41.
- M. Asplund, A. M. Amarsi, and N. Grevesse, “The chemical make-up of the Sun: A 2020 vision”, Astronomy & Astrophysics 653 (2021), A141.
- E. H. Avrett and R. Loeser, “Models of the Solar Chromosphere and Transition Region from SUMER and HRTS Observations”, The Astrophysical Journal Supplement Series 175 (2008), 229–276.
- J. Leenaarts, M. Carlsson, V. Hansteen, and R. J. Rutten, “Non-equilibrium hydrogen ionization in 2D simulations of the solar atmosphere”, Astronomy & Astrophysics 473 (2007), 625–632.
- G. A. Gary, “Plasma Beta above a Solar Active Region: Rethinking the Paradigm”, Solar Physics 203 (2001), 71–86.
- M. R. Krumholz, R. I. Klein, C. F. McKee, and J. Bolstad, “Equations and Algorithms for Mixed-frame Flux-limited Diffusion Radiation Hydrodynamics”, The Astrophysical Journal 667 (2007), 626–643.
- J. Dudík et al., “Electron Densities in the Solar Corona Measured Simultaneously in the Extreme Ultraviolet and Infrared”, The Astrophysical Journal 906 (2021), 118.
- E. N. Parker, “Dynamics of the Interplanetary Gas and Magnetic Fields”, The Astrophysical Journal 128 (1958), 664–676.