복사수송 II: Moment Hierarchy와 Closure Problem

이 글은 복사수송 I에서 정의한 $E_r$, $\mathbf F_r$, $\mathbb P_r$와 그 $c$-정규화를 전제로 합니다. FLD나 M1의 공식을 바로 선택하지 않고 closure가 필요한 이유와 그 물리적 제약을 분리해 살펴봅니다.

이 글의 질문은 다음과 같습니다. 같은 $E_r$와 $\mathbf F_r$가 왜 $\mathbb P_r$를 유일하게 결정하지 못하며, 물리적으로 실현 가능한 closure는 어떤 조건을 만족해야 하는가?

1. 왜 moment hierarchy가 닫히지 않는가

0차 moment는 복사 에너지 $E_r$, 1차 moment는 복사 flux $\mathbf F_r$, 2차 moment는 복사 압력 텐서 $\mathbb P_r$입니다. 0차와 1차 방정식을 진화시키려면 $\mathbb P_r$가 필요하지만, $\mathbb P_r$는 앞의 두 변수만으로 일반적으로 결정되지 않습니다.

복사장의 비음수 각도 분포 $I(\mathbf n)\ge0$가 서로 달라도 그 분포의 0차와 1차 적분은 같을 수 있습니다. 그러나 그 분포들의 2차 적분은 다를 수 있습니다. 따라서 moment hierarchy를 어느 단계에서 중단하려면, 낮은 moment로 높은 moment를 근사하는 closure 관계를 추가해야 합니다.

현재 글에서 다루는 회전대칭적이고 국소적인 algebraic two-moment closure의 구조는 다음처럼 쓸 수 있습니다. 우선 $E_r>0$이고 $\mathbf F_r\ne\mathbf0$인 경우를 생각합니다.

\[\mathbb P_r = E_r\,\mathbb D(f,\hat{\mathbf f}), \qquad f=\frac{|\mathbf F_r|}{cE_r}, \qquad \hat{\mathbf f}=\frac{\mathbf F_r}{|\mathbf F_r|}.\]

여기서 $\mathbb D$는 Eddington tensor입니다. 이 식은 특정 closure 공식을 아직 선택하지 않고, $\mathbb P_r$가 $E_r$, reduced flux, flux 방향의 함수라는 구조만 나타냅니다. 속도, 자기장, 공간 미분 또는 기하와 같은 추가 상태변수에 의존하는 closure까지 포함하려면 이 표기를 확장해야 합니다.

2. Closure가 만족해야 할 극한

2.1 등방성 확산 극한

복사장이 거의 모든 방향으로 균등하게 분포하면 net flux가 작아져 $f\to0$입니다. $\mathbb I$를 3차원 항등 텐서라고 하면, 이때 압력은 등방적이어야 하므로

\[\mathbb D\longrightarrow\frac{1}{3}\mathbb I, \qquad \mathbb P_r\longrightarrow\frac{E_r}{3}\mathbb I\]

가 되어야 합니다.

2.2 자유 흐름 극한

복사장이 한 방향으로만 흐르는 자유 흐름에서는 $f\to1$이고, 압력은 flux 방향으로 집중됩니다.

\[\mathbb D\longrightarrow\hat{\mathbf f}\otimes\hat{\mathbf f}, \qquad \mathbb P_r\longrightarrow E_r\,\hat{\mathbf f}\otimes\hat{\mathbf f}.\]

이 두 식은 각각 isotropic-diffusion limit와 single-direction streaming limit에서 closure가 만족해야 할 조건입니다. 광학적으로 두꺼운 매질의 매끄러운 내부는 보통 첫 번째 극한에 접근하고, 고립된 optically thin beam은 두 번째 극한에 접근합니다. 그러나 reduced flux $f$와 optical depth는 일대일로 대응하지 않습니다.

예를 들어 진공에서 서로 반대 방향으로 진행하는 같은 세기의 두 beam을 angular delta function으로 나타내겠습니다. 여기서 $I_0>0$, $\mathbf e_x$는 $x$축 단위벡터이고, $\delta_\Omega$는 단위구면에서

\[\int_{4\pi} \delta_\Omega(\mathbf n-\mathbf n_0)\,\phi(\mathbf n)\,d\Omega = \phi(\mathbf n_0)\]

를 만족하도록 정규화한 angular delta입니다. 두 beam의 intensity는

\[I(\mathbf n) = I_0\left[ \delta_\Omega(\mathbf n-\mathbf e_x) + \delta_\Omega(\mathbf n+\mathbf e_x) \right]\]

이고, 그 moments는

\[\mathbf F_r=\mathbf0, \qquad \mathbb P_r=E_r\,\mathbf e_x\otimes\mathbf e_x\]

입니다. 이 복사장은 optically thin이고 강하게 비등방적이지만 $f=0$입니다. 따라서 $f=0$ 자체가 isotropy나 큰 optical depth를 뜻하지는 않습니다. $E_r$와 $\mathbf F_r$만 사용하는 국소 closure는 이 counter-streaming field를 같은 $E_r$를 가진 등방장과 구분할 수 없습니다.

정확한 중간 형태는 closure 선택의 결과이며, FLD와 M1은 이 문제를 서로 다르게 근사합니다.

3. Realizability 조건

한 시공간 점에서 $I(\mathbf n)\ge0$이고 $\lVert\mathbf n\rVert=1$이라고 하겠습니다. Moment 정의와 삼각부등식으로부터

\[|\mathbf F_r| = \left|\int I\mathbf n\,d\Omega\right| \le \int I|\mathbf n|\,d\Omega = cE_r\]

가 바로 따라옵니다. 따라서 $E_r\ge0$이고 reduced flux는 $0\le f\le1$입니다. 임의의 $\mathbf a\in\mathbb R^3$에 대해서는

\[\mathbf a\cdot\mathbb P_r\mathbf a = \frac{1}{c}\int I(\mathbf a\cdot\mathbf n)^2\,d\Omega \ge0,\] \[\operatorname{tr}\mathbb P_r = \frac{1}{c}\int I\,\operatorname{tr}(\mathbf n\otimes\mathbf n)\,d\Omega = \frac{1}{c}\int I|\mathbf n|^2\,d\Omega = E_r.\]

그러므로 $\mathbb P_r$는 대칭인 양의 준정부호 텐서이며 trace는 $E_r$입니다. Closure가 $E_r>0$에서 realizable하려면 $\mathbb D$도 양의 준정부호이고 trace가 1이어야 합니다.

이 개별 조건만으로는 충분하지 않습니다. Pressure tensor와 flux를 함께 포함한 moment matrix는

\[\mathbb M = \begin{pmatrix} E_r & \mathbf F_r^{\mathsf T}/c\\ \mathbf F_r/c & \mathbb P_r \end{pmatrix} .\]

여기서

\[\mathbf z(\mathbf n) = \begin{pmatrix} 1\\ \mathbf n \end{pmatrix}\]

로 두면 같은 행렬은

\[\mathbb M = \frac{1}{c}\int I(\mathbf n) \mathbf z(\mathbf n)\mathbf z(\mathbf n)^{\mathsf T}\,d\Omega \succeq0\]

로 쓸 수 있습니다. 실제로 임의의 $\alpha\in\mathbb R$와 $\mathbf a\in\mathbb R^3$에 대해

\[\begin{pmatrix} \alpha\\ \mathbf a \end{pmatrix}^{\mathsf T} \mathbb M \begin{pmatrix} \alpha\\ \mathbf a \end{pmatrix} = \frac{1}{c}\int I(\alpha+\mathbf a\cdot\mathbf n)^2\,d\Omega \ge0\]

입니다. 따라서 $E_r>0$이면 Schur complement로부터

\[\boxed{ \mathbb P_r - \frac{\mathbf F_r\otimes\mathbf F_r}{c^2E_r} \succeq0 }\]

가 따라옵니다. 이 covariance 조건은 $\mathbb P_r\succeq0$만 요구하는 것보다 강합니다. 예를 들어 $E_r>0$인 상태에서

\[\mathbf F_r=0.9cE_r\,\mathbf e_x, \qquad \mathbb P_r=\frac{E_r}{3}\mathbb I\]

는 $E_r\ge0$, $\lVert\mathbf F_r\rVert\le cE_r$, $\mathbb P_r\succeq0$, $\operatorname{tr}\mathbb P_r=E_r$를 각각 만족하지만, flux 방향의 covariance eigenvalue가 $E_r(1/3-0.9^2)<0$이므로 realizable하지 않습니다.

3.1 0–2차 구면 moment의 필요충분조건

여기까지의 개별 조건과 달리, trace 조건과 결합 moment matrix의 양의 준정부호성은 이 글이 다루는 범위에서 충분성까지 줍니다. 정확히 말하면

\[E_r\ge0, \qquad \mathbb P_r=\mathbb P_r^{\mathsf T}, \qquad \operatorname{tr}\mathbb P_r=E_r, \qquad \mathbb M\succeq0\]

이면 단위구면 $S^2$ 위에 유한한 비음수 measure $\mu$가 존재하여

\[E_r=\int_{S^2}d\mu, \qquad \frac{\mathbf F_r}{c}=\int_{S^2}\mathbf n\,d\mu, \qquad \mathbb P_r=\int_{S^2}\mathbf n\otimes\mathbf n\,d\mu\]

를 만족합니다. 즉 $d\mu=I\,d\Omega/c$로 해석하면 주어진 0–2차 moments는 실제 비음수 angular measure로 실현됩니다.

이를 간단히 증명할 수 있습니다. $E_r=0$이면 $\mathbb M\succeq0$과 $\operatorname{tr}\mathbb P_r=0$에서 $\mathbf F_r=\mathbf0$, $\mathbb P_r=\mathbf0$가 되어 영 measure가 해입니다. $E_r>0$이면 $\mathbb M/E_r$를 정규화하고 다음 compact convex set을 생각합니다.

\[\mathcal C = \left\{ X\succeq0: X_{00}=1, \ \operatorname{tr}X_{1:3,1:3}=1 \right\}.\]

두 개의 독립적인 affine constraint를 가진 spectrahedron의 rank-$r$ extreme point에는 $r(r+1)/2\le2$가 성립하므로 모든 extreme point의 rank는 1입니다(Pataki 1998). 따라서 각 extreme point는 부호를 정리하면

\[X = \begin{pmatrix} 1\\ \mathbf n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \mathbf n^{\mathsf T} \end{pmatrix}, \qquad |\mathbf n|=1\]

인 단일 방향 beam의 moment matrix입니다. Compact convex set $\mathcal C$의 모든 원소는 이러한 extreme point들의 유한 convex combination으로 표현되므로, beam마다 비음수 가중치를 주면 원하는 finite atomic measure를 얻습니다.

이 필요충분성은 0–2차 moments와 단위구면 위의 비음수 finite measure에 한정됩니다. 모든 방향에서 유한하고 매끄러운 intensity density, 지정된 higher-order moments, 또는 특정 angular quadrature node 위의 discrete realizability까지 보장하지는 않습니다. 그런 제약에는 별도의 조건이 필요합니다.

4. Continuum closure와 discrete scheme은 다른 문제다

Closure가 continuum 수준에서 diffusion·streaming limit와 realizability를 만족한다고 해서 이를 이산화한 수치 scheme이 같은 성질을 자동으로 보존하는 것은 아닙니다. 여기서 admissible set은 앞 절의 필요충분조건을 만족하는 moment 상태들의 집합입니다. 재구성, numerical flux, 시간적분과 stiff source update가 이 집합을 벗어나면 $E_r<0$ 또는 $\lVert\mathbf F_r\rVert>cE_r$인 상태가 생길 수 있습니다. 사후 floor나 clipping은 마지막 보호장치로 사용할 수 있지만, 수정량을 기록하지 않으면 conservation과 formal order를 손상할 수 있습니다.

Optically thick cell에서의 diffusion limit도 별도 조건입니다. 예를 들어 cell optical depth

\[\tau_{\rm cell}=\rho\kappa\,\Delta x\gg1\]

인 상태를 생각하겠습니다. 여기서 $\rho$는 질량밀도, $\kappa$는 단위질량당 transport opacity, $\Delta x$는 cell width입니다. 수정하지 않은 hyperbolic upwind flux를 그대로 사용하면 continuum closure가 올바르더라도 physical diffusion coefficient

\[D_{\mathrm{diff}}=\frac{c}{3\rho\kappa}\]

를 고정된 grid에서 회복하지 못할 수 있습니다. Mean free path를 0으로 보내는 극한에서 수치식도 올바른 diffusion discretization으로 수렴하게 하려면 asymptotic-preserving flux와 source 처리가 필요합니다. Audit et al. (2002)은 이를 위해 M1 system의 HLLE flux에 asymptotic-preserving 수정을 도입합니다.

따라서 다음 두 요구를 구분해야 합니다.

• continuum closure: moment가 물리적 극한과 realizability 조건을 만족하는가
• discrete scheme: 재구성, flux, 시간적분, source update가 admissible set과 diffusion limit를 보존하는가

이 글은 이 구분까지만 고정합니다. 구체적인 numerical flux, reconstruction, timestep과 invariant-preserving update는 선택한 FLD 또는 M1 Method Branch의 책임입니다.

5. Closure와 source-term은 다른 문제다

Closure는 $\mathbb P_r$를 결정하는 각도 분포의 근사입니다. 반면 source-term은 물질과 복사가 에너지와 운동량을 교환하는 물리입니다. 같은 closure를 사용하더라도 흡수·방출, 산란, frame convention에 따라 source-term은 달라질 수 있습니다.

FLD와 M1도 같은 종류의 closure가 아닙니다. FLD는 보통 radiation energy equation에 사용할 flux를 $E_r$의 gradient와 연결하는 constitutive relation을 줍니다. Momentum coupling 등에 $\mathbb P_r$가 필요한 formulation에서는 선택한 flux limiter와 일관된 Eddington-factor 관계를 추가해야 합니다(Levermore 1984). 반면 M1은 $E_r$와 $\mathbf F_r$를 진화시키면서 이 두 변수로 $\mathbb P_r$를 정하는 two-moment closure이며, González et al. (2007)은 이 형태를 radiation-hydrodynamics code에 구현한 예입니다. 따라서 두 방법을 비교할 때는 flux closure와 pressure closure를 구분해야 합니다.

이 구분을 지키면 FLD나 M1의 closure 오차를 source-term의 물리적 오차와 혼동하지 않을 수 있습니다. Rad-MHD Core Track의 다음 두 편에서는 먼저 ideal MHD와 추상 matter-radiation source-term을 보존형으로 결합하고, 이어서 constant-gray opacity 아래의 thermodynamic coupling을 구체화합니다.

FLD와 M1의 구체식과 수치 scheme은 Core Track 이후 각각의 Method Branch에서 다룹니다. Mixed-frame $O(v/c)$ 결합과 reduced speed of light approximation(RSLA)은 물리 모형 또는 근사를 확장하는 Advanced Branch로 분리합니다.

참고문헌

• Mihalas, D., & Weibel-Mihalas, B. (1984). Foundations of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press. Book record
• Levermore, C. D. (1984). “Relating Eddington factors to flux limiters.” Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 31(2), 149-160. doi:10.1016/0022-4073(84)90112-2
• González, M., Audit, E., & Huynh, P. (2007). “HERACLES: a three-dimensional radiation hydrodynamics code.” Astronomy & Astrophysics, 464, 429-435. doi:10.1051/0004-6361:20065486
• Audit, E., Charrier, P., Chièze, J.-P., & Dubroca, B. (2002). “A radiation-hydrodynamics scheme valid from the transport to the diffusion limit.” arXiv:astro-ph/0206281
• Pataki, G. (1998). “On the Rank of Extreme Matrices in Semidefinite Programs and the Multiplicity of Optimal Eigenvalues.” Mathematics of Operations Research, 23(2), 339-358. doi:10.1287/moor.23.2.339